3.3 函数的单调性与极值

3.3 函数的单调性与极值

3.3.1 函数单调性的判定法

在 1.1.3 节中，我们介绍了函数单调性的概念。如果函数 f(x) 在区间 I 上单调递增 (减)，那么当 x 在 I 内增大时，函数值 f(x) 也相应地增大 (减小)。利用导数，我们可以给出函数单调性的判定方法。

定理 3.3.1 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导。

1. 如果在 (a, b) 内 f'(x) > 0，那么 f(x) 在 [a, b] 上单调递增；
2. 如果在 (a, b) 内 f'(x) < 0，那么 f(x) 在 [a, b] 上单调递减。

证明: 只证明情形 1。

任取 x₁, x₂ ∈ [*a*, b]，且 x₁ < x₂。由于 f(x) 在 [*x₁, *x₂] 上连续，在 (x₁, x₂) 内可导，所以由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (x₁, x₂) ⊂ (a, b)，使得

\[f(x_2) - f(x_1) = f'(ξ)(x_2 - x_1)\]

因为 f'(ξ) > 0，x₂ - x₁ > 0，所以 f(x₂) - f(x₁) > 0，即 f(x₁) < f(x₂)。

根据单调性的定义，f(x) 在 [*a*, b] 上单调递增。

说明:

• 该定理提供了利用导数判断函数单调性的方法。
• 如果在 (a, b) 内 f'(x) ≥ 0 (≤ 0)，且等号仅在个别点处成立，那么 f(x) 在 [*a*, b] 上仍然单调递增 (递减)。例如 f(x) = x³ 在 R 上单调递增，f'(x) = 3x² ≥ 0，且等号仅在 x = 0 处成立。
• 该定理的逆命题不成立。例如 f(x) = x³ 在 R 上单调递增，但 f'(0) = 0。
• 函数的单调性是一个区间上的整体性质，而导数的符号是对应于一点的性质。利用导数判断函数的单调性时，需要考察导数在整个区间上的符号。
• 如果一个函数在某个区间内可导，并且导数恒为零，那么这个函数在该区间内是一个常数。

例 3.3.1 判定函数 f(x) = x - lnx 的单调性。

解: 函数的定义域为 (0, +∞)。

\[f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}\]

当 x ∈ (0, 1) 时，f'(x) < 0，所以 f(x) 在 (0, 1] 上单调递减；

当 x ∈ (1, +∞) 时，f'(x) > 0，所以 f(x) 在 [1, +∞) 上单调递增。

例 3.3.2 判定函数 f(x) = 2x³ - 9x² + 12x - 3 的单调性。

解: 函数的定义域为 R。

\[f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)\]

当 x ∈ (-∞, 1) 时，f'(x) > 0，所以 f(x) 在 (-∞, 1] 上单调递增；

当 x ∈ (1, 2) 时，f'(x) < 0，所以 f(x) 在 [1, 2] 上单调递减；

当 x ∈ (2, +∞) 时，f'(x) > 0，所以 f(x) 在 [2, +∞) 上单调递增。

例 3.3.3 证明：当 x > 0 时，x > sinx。

证明: 设 f(x) = x - sinx，则 f'(x) = 1 - cosx ≥ 0。等号仅在 x = 2kπ (k 为整数) 处成立。因此 f(x) 在 [0, +∞) 上单调递增。

当 x > 0 时，f(x) > f(0) = 0，即 x - sinx > 0。

所以当 x > 0 时，x > sinx。

函数的单调区间的求法:

1. 求出函数的定义域。
2. 求出导数 f'(x)。
3. 求出 f'(x) = 0 的根以及 f'(x) 不存在的点。
4. 用上述求出的根和不存在导数的点将定义域划分成若干个区间。
5. 确定 f'(x) 在各个区间上的符号，从而确定函数的单调区间。

说明:

• 单调区间的端点可以根据函数在该点处的连续性以及单调性定义来确定是否包含在单调区间内。

3.3.2 函数的极值及其求法

极值的概念:

在研究函数的性态时，我们经常关心函数的哪些值比它临近的值都大或都小。这些特殊的点具有重要的意义。

定义 3.3.1 (极值) 设函数 f(x) 在点 x₀ 的某个邻域 U(x₀) 内有定义，如果对于去心邻域 U(x₀) 内的任一 x，有

\[f(x) < f(x_0)\]

(或

\[f(x) > f(x_0)\]

)

那么就称 f(x₀) 是函数 f(x) 的一个**极大值** (或**极小值**)，点 x₀ 称为 f(x) 的**极大值点** (或**极小值点**)。极大值和极小值统称为**极值**，极大值点和极小值点统称为**极值点**。

说明:

• 极值是一个局部概念。一个函数可以有多个极值，极大值不一定大于极小值。
• 极值点一定是函数定义域内部的点。
• 如果在一点 x₀ 附近有 f(x) ≤ f(x₀) (或 f(x) ≥ f(x₀) )，那么我们称 f(x₀) 是 f(x) 的一个**广义极大值** (或**广义极小值**)。如果 f(x) 在 x₀ 处可导，那么广义极值和极值是相同的概念。

极值的必要条件:

定理 3.3.2 (极值的必要条件) 设函数 f(x) 在 x₀ 处可导，且在 x₀ 处取得极值，则 f'(x₀) = 0。

证明: 不妨设 f(x) 在 x₀ 处取得极大值，则存在 x₀ 的某个去心邻域 U(x₀)，当 x ∈ U(x₀) 时，f(x) < f(x₀)。

于是，当 x > x₀ 时，\(\(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0\)\)；当 x < x₀ 时，\(\(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0\)\)。

由于 f(x) 在 x₀ 处可导，所以

\[f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} ≤ 0\]

\[f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} ≥ 0\]

因此，f'(x₀) = 0。

说明:

• 使导数为零的点称为函数的**驻点**。
• 定理 3.3.2 表明，可导函数的极值点一定是它的驻点。
• 但驻点不一定是极值点。例如，f(x) = x³，f'(0) = 0，但 x = 0 不是 f(x) 的极值点。
• 不可导点也可能是极值点。例如 f(x) = |x|，x = 0 是 f(x) 的极小值点，但 f(x) 在 x = 0 处不可导。

极值的第一充分条件:

定理 3.3.3 (极值的第一充分条件) 设函数 f(x) 在 x₀ 的某个邻域 U(x₀) 内连续，在去心邻域 U(x₀) 内可导。

1. 如果当 x < x₀ 时 f'(x) > 0，当 x > x₀ 时 f'(x) < 0，那么 f(x) 在 x₀ 处取得极大值；
2. 如果当 x < x₀ 时 f'(x) < 0，当 x > x₀ 时 f'(x) > 0，那么 f(x) 在 x₀ 处取得极小值；
3. 如果在 x₀ 两侧 f'(x) 的符号相同，那么 f(x) 在 x₀ 处没有极值。

证明: 只证明情形 1。

由于 f'(x) 在 x₀ 左侧大于零，根据导数的局部保号性，存在 δ₁ > 0，当 x ∈ (x₀ - δ₁, x₀) 时，f'(x) > 0。由拉格朗日中值定理，

\[f(x) - f(x_0) = f'(ξ)(x - x_0)\]

其中 ξ ∈ (x, x₀)。由于 f'(ξ) > 0，x - x₀ < 0，所以 f(x) < f(x₀)。

同理，由于 f'(x) 在 x₀ 右侧小于零，存在 δ₂ > 0，当 x ∈ (x₀, x₀ + δ₂) 时，f'(x) < 0。由拉格朗日中值定理，

\[f(x) - f(x_0) = f'(ξ)(x - x_0)\]

其中 ξ ∈ (x₀, x)。由于 f'(ξ) < 0，x - x₀ > 0，所以 f(x) < f(x₀)。

取 δ = min{δ₁, δ₂}，则当 x ∈ U(x₀) 时，恒有 f(x) < f(x₀)。因此，f(x) 在 x₀ 处取得极大值。

说明:

• 该定理提供了利用导数符号的变化情况来判断极值的方法。
• 定理的条件是充分的，但不是必要的。

极值的第二充分条件:

定理 3.3.4 (极值的第二充分条件) 设函数 f(x) 在 x₀ 处具有二阶导数，且 f'(x₀) = 0, f''(x₀) ≠ 0，那么

1. 当 f''(x₀) < 0 时，函数 f(x) 在 x₀ 处取得极大值；
2. 当 f''(x₀) > 0 时，函数 f(x) 在 x₀ 处取得极小值。

证明: 只证明情形 1。

由于 f''(x₀) < 0，根据导数的局部保号性，存在 x₀ 的某个去心邻域，使得当 x 在该邻域内时，f''(x) < 0。

由泰勒公式 (带皮亚诺余项)，

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)\]

因为 f'(x₀) = 0，所以

\[f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)\]

当 x 充分接近 x₀ 时，上式右端由第一项决定符号。由于 f''(x₀) < 0，所以 f(x) - f(x₀) < 0，即 f(x) < f(x₀)。

因此，f(x) 在 x₀ 处取得极大值。

说明:

• 如果 f''(x₀) = 0，则第二充分条件失效，不能判定 f(x) 在 x₀ 处是否有极值。例如 f(x) = x⁴ 和 f(x) = -x⁴ 在 x = 0 处都有 f'(0) = f''(0) = 0，但前者在 x = 0 处取得极小值，后者在 x = 0 处取得极大值。
• 如果 f(x) 在 x₀ 处只有一阶导数，则第二充分条件也不能使用。

求函数极值的步骤:

1. 确定函数的定义域。
2. 求出导数 f'(x)。
3. 求出 f'(x) = 0 的根 (驻点) 以及 f'(x) 不存在的点。
4. 检查 f'(x) 在驻点和不可导点两侧的符号，判断极值点。
   • 利用极值的第一充分条件：如果在 x₀ 左侧 f'(x) > 0，右侧 f'(x) < 0，则 x₀ 是极大值点；如果在 x₀ 左侧 f'(x) < 0，右侧 f'(x) > 0，则 x₀ 是极小值点；如果 f'(x) 在 x₀ 两侧同号，则 x₀ 不是极值点。
   • 如果存在二阶导数，可以利用极值的第二充分条件：如果 f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) < 0，则 x₀ 是极大值点；如果 f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) > 0，则 x₀ 是极小值点。
5. 求出极值。

例 3.3.4 求函数 f(x) = x³ - 3x 的极值。

解: 函数的定义域为 R。

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1)

令 f'(x) = 0，解得驻点 x₁ = -1, x₂ = 1。

• 当 x < -1 时，f'(x) > 0；
• 当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0；
• 当 x > 1 时，f'(x) > 0。

根据极值的第一充分条件，f(-1) = 2 是极大值，f(1) = -2 是极小值。

也可用二阶导数判断：f''(x) = 6x。因为 f''(-1) = -6 < 0，所以 f(-1) = 2 是极大值；因为 f''(1) = 6 > 0，所以 f(1) = -2 是极小值。

例 3.3.5 求函数 f(x) = (x - 1)^⅔ 的极值。

解: 函数的定义域为 R。

f'(x) = 2/(3√(x-1)) (x ≠ 1)

f'(x) 在 x = 1 处不存在。

• 当 x < 1 时，f'(x) < 0；
• 当 x > 1 时，f'(x) > 0。

根据极值的第一充分条件，f(1) = 0 是极小值。

例 3.3.6 求函数 f(x) = |x| 的极值。

解: 函数的定义域为 R。

当 x ≠ 0 时，f'(x) = |x|/x。f'(x) 在 x = 0 处不存在。

• 当 x < 0 时，f'(x) = -1 < 0；
• 当 x > 0 时，f'(x) = 1 > 0。

根据极值的第一充分条件，f(0) = 0 是极小值。