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3.4 函数的凹凸性与拐点

3.4 函数的凹凸性与拐点

3.4.1 函数凹凸性的定义

定义 3.4.1 (凹凸性) 设 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1 和 x2，恒有

\[f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\]

那么称 f(x) 在 I 上的图形是**凹**的 (或**向下凹**的)；如果恒有

\[f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\]

那么称 f(x) 在 I 上的图形是**凸**的 (或**向上凸**的)。

几何解释:

  • 如果 f(x) 在 I 上的图形是凹的，那么曲线上任意两点 A (x1, f(x1)) 和 B (x2, f(x2)) 的中点 C 的纵坐标 \(\(\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\)\) 总大于弧 AB 的中点 D 的纵坐标 \(\(f(\frac{x_1 + x_2}{2})\)\) (参见下图)。
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    |
    |    f(x)
    |   ~~~~~~
    |  /      \
    | /        \
  f(x2)|A        B
    |  \      /
  f(x1)|   \    /
    |----C----D-----> x
         x1 (x1+x2)/2 x2
          C 的纵坐标大于 D 的纵坐标
  • 如果 f(x) 在 I 上的图形是凸的，则有类似解释，只是不等号反向。

说明:

  • 凹凸性也是函数的整体性质。
  • 也可以利用曲线在切线上方或下方来定义凹凸性。如果曲线 y = f(x) 在区间 I 上，位于其上任意一点切线的上方 (下方)，则称曲线在 I 上是凹的 (凸的)。
  • 连续的凹弧和凸弧的分界点称为**拐点**。更精确的定义将在后面给出。

3.4.2 函数凹凸性的判定法

定理 3.4.1 设 f(x) 在 [*a*, b] 上连续，在 (a, b) 内具有一阶和二阶导数，那么

  1. 如果在 (a, b) 内 f''(x) > 0，则 f(x) 在 [*a*, b] 上的图形是凹的；
  2. 如果在 (a, b) 内 f''(x) < 0，则 f(x) 在 [*a*, b] 上的图形是凸的。

证明: 只证明情形 1。

设 x1 和 x2 是 (a, b) 内任意两点，且 x1 < x2。令 x0 = (x1 + x2)/2，由泰勒中值定理，

\[f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) + \frac{f''(ξ_1)}{2}(x_1 - x_0)^2\]
\[f(x_2) = f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0) + \frac{f''(ξ_2)}{2}(x_2 - x_0)^2\]

其中 ξ1 ∈ (x1, x0)，ξ2 ∈ (x0, x2)。

由于 x1 - x0 = -(x2 - x0)，将两式相加，得

\[f(x_1) + f(x_2) = 2f(x_0) + \frac{f''(ξ_1) + f''(ξ_2)}{2}(x_1 - x_0)^2\]

即

\[\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} = f(\frac{x_1 + x_2}{2}) + \frac{f''(ξ_1) + f''(ξ_2)}{8}(x_2 - x_1)^2\]

因为 f''(x) > 0，所以 f''(ξ1) > 0，f''(ξ2) > 0。又 (x2 - x1)2 > 0，所以

\[\frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} > f(\frac{x_1 + x_2}{2})\]

因此，f(x) 在 [*a*, b] 上的图形是凹的。

说明:

  • 该定理提供了利用二阶导数判断函数凹凸性的方法。
  • 如果在 (a, b) 内 f''(x) ≥ 0 (≤ 0)，且等号仅在个别点处成立，那么 f(x) 在 [*a*, b] 上仍然是凹的 (凸的)。例如 f(x) = x4 在 R 上是凹的，f''(x) = 12x2 ≥ 0，且等号仅在 x = 0 处成立。

例 3.4.1 判定函数 f(x) = x3 的凹凸性。

解: f'(x) = 3x2, f''(x) = 6x。

当 x < 0 时，f''(x) < 0，所以 f(x) 在 (-∞, 0] 上是凸的；

当 x > 0 时，f''(x) > 0，所以 f(x) 在 [0, +∞) 上是凹的。

例 3.4.2 判定函数 f(x) = ex 的凹凸性。

解: f'(x) = ex, f''(x) = ex。

因为 ex > 0 对任意 x ∈ R 成立，所以 f''(x) > 0，因此 f(x) = ex 在 R 上是凹的。

例 3.4.3 判定函数 f(x) = lnx 的凹凸性。

解: f'(x) = 1/x, f''(x) = -1/x2。

当 x ∈ (0, +∞) 时，f''(x) < 0，所以 f(x) = lnx 在 (0, +∞) 上是凸的。

3.4.3 拐点及其求法

定义 3.4.2 (拐点) 设 f(x) 在 (a, b) 内连续，x0 ∈ (a, b)。如果 f(x) 的图形在 x0 两侧凹凸性不同，那么称点 (x0, f(x0)) 为曲线 y = f(x) 的**拐点**。

说明:

  • 拐点是曲线凹凸性改变的点。
  • 如果 f''(x) 在 x0 两侧异号，那么 (x0, f(x0)) 是拐点。
  • 如果 f(x) 在 x0 处二阶可导，且 (x0, f(x0)) 是拐点，那么 f''(x0) = 0 (因为 f''(x) 在 x0 两侧异号，且 f''(x) 在 x0 处连续，由零点定理知 f''(x0) = 0)。
  • f''(x0) = 0 是 (x0, f(x0)) 为拐点的必要条件，但不是充分条件。例如 f(x) = x4，f''(0) = 0，但 (0, 0) 不是拐点。
  • 即使 f''(x0) 不存在，(x0, f(x0)) 也可能是拐点。例如 f(x) = x⅓，f''(x) 在 x = 0 处不存在，但 (0, 0) 是拐点。

求拐点的步骤:

  1. 确定函数的定义域。
  2. 求出 f''(x)。
  3. 求出 f''(x) = 0 的根以及 f''(x) 不存在的点。
  4. 检查 f''(x) 在这些点两侧的符号，如果符号相反，则该点为拐点；如果符号相同，则该点不是拐点。

例 3.4.4 求函数 f(x) = x3 的拐点。

解: 由例 3.4.1 知，f''(x) = 6x。令 f''(x) = 0，解得 x = 0。

  • 当 x < 0 时，f''(x) < 0；
  • 当 x > 0 时，f''(x) > 0。

所以 f''(x) 在 x = 0 两侧异号，因此 (0, 0) 是 f(x) = x3 的拐点。

例 3.4.5 求函数 f(x) = x4 - 6x2 + 5 的拐点。

解: f'(x) = 4x3 - 12x, f''(x) = 12x2 - 12 = 12(x - 1)(x + 1)。

令 f''(x) = 0，解得 x1 = -1, x2 = 1。

  • 当 x ∈ (-∞, -1) 时，f''(x) > 0；
  • 当 x ∈ (-1, 1) 时，f''(x) < 0；
  • 当 x ∈ (1, +∞) 时，f''(x) > 0。

所以 f''(x) 在 x1 = -1 和 x2 = 1 两侧异号，因此 (-1, 0) 和 (1, 0) 是 f(x) 的拐点。

例 3.4.6 求函数 f(x) = (x-5)√(x-4)2 的拐点。 解: 函数定义域为 R。 f'(x) = \frac{5x-18}{3\sqrt[3]{x-4}} f''(x) = \frac{10x-36}{9\sqrt[3]{(x-4)^4}} 令 f''(x) = 0，得到 x = 18/5。f''(x) 在 x = 4 处无定义。

  • 当 x ∈ (-∞, 18/5) 时，f''(x) < 0；
  • 当 x ∈ (18/5, 4) 时，f''(x) > 0；
  • 当 x ∈ (4, +∞) 时，f''(x) > 0。

因为 f''(x) 在 x = 18/5 两侧异号，x = 4 两侧同号，且函数在 x = 18/5 和 x = 4 处都连续，所以点 (18/5, f(18/5)) ≈ (3.6, -1.34) 是拐点，点 (4, 0) 不是拐点。