3.5 函数的最值

3.5 函数的最值

3.5.1 闭区间上连续函数的最值

最值的概念:

设函数 f(x) 在区间 I 上有定义，如果存在 x₀ ∈ I，使得对任意 x ∈ I，都有

\[f(x) ≤ f(x_0)\]

(或

\[f(x) ≥ f(x_0)\]

)

则称 f(x₀) 是 f(x) 在区间 I 上的**最大值** (或**最小值**)，称 x₀ 是 f(x) 在区间 I 上的**最大值点** (或**最小值点**)。最大值和最小值统称为**最值**。

说明:

• 最值是一个整体概念，它表示函数在整个定义区间上的最大值或最小值。
• 最值不一定存在。例如，f(x) = x 在 (0, 1) 上就没有最大值和最小值。
• 如果最值存在，则最值点不一定唯一。例如，f(x) = sinx 在 [-π, π] 上，x = -π/2 和 x = π/2 分别是最小值点和最大值点，但最小值点和最大值点都不唯一。

最值定理:

定理 3.5.1 (最值定理) 如果函数 f(x) 在闭区间 [*a*, b] 上连续，那么 f(x) 在 [*a*, b] 上一定有最大值和最小值。

说明:

• 这个定理的证明比较复杂，这里从略。
• 闭区间和连续性这两个条件缺一不可。例如，f(x) = x 在 (0, 1) 上没有最大值和最小值；\(\(f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases}\)\) 在 [0, 1] 上没有最大值。

求闭区间上连续函数最值的步骤:

如果 f(x) 在闭区间 [*a*, b] 上连续，那么 f(x) 在 [*a*, b] 上的最大值和最小值只可能在驻点、不可导点或区间端点处取得。

1. 求出 f(x) 在 (a, b) 内的所有驻点和不可导点。
2. 计算 f(x) 在所有驻点、不可导点以及区间端点 a, b 处的函数值。
3. 比较这些函数值的大小，其中最大的就是 f(x) 在 [*a*, b] 上的最大值，最小的就是 f(x) 在 [*a*, b] 上的最小值。

例 3.5.1 求 f(x) = x³ - 3x 在 [-2, 2] 上的最值。

解: f(x) 在 [-2, 2] 上连续，f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1)。

令 f'(x) = 0，解得驻点 x₁ = -1, x₂ = 1。

f(-2) = -2, f(-1) = 2, f(1) = -2, f(2) = 2。

比较以上四个函数值可知，f(x) 在 [-2, 2] 上的最大值为 2，最小值也为 -2，但最大值点为 x = -1 和 x = 2，最小值点为 x = -2 和 x = 1。

例 3.5.2 求 f(x) = |x| 在 [-1, 2] 上的最值。

解: f(x) 在 [-1, 2] 上连续，且

\[ f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]

x = 0 是 f(x) 的不可导点。

f(-1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 2。

因此，f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 2，最小值点为 0。

3.5.2 实际问题中的最值

在实际问题中，我们经常需要求函数的最大值或最小值。例如，如何设计一个容器使其容积最大，如何确定生产计划使得利润最高等等。这些问题通常可以转化为求某个函数的最大值或最小值问题，即**最优化问题**。

建立最优化问题的数学模型的一般步骤:

1. 分析问题： 确定问题的目标和约束条件，找出需要最大化或最小化的量。
2. 建立模型： 设自变量为 x，将需要最大化或最小化的量表示成 x 的函数 f(x)。确定 f(x) 的定义域。
3. 求解模型： 利用微积分方法求出 f(x) 的最大值或最小值。
4. 解释结果： 将求得的结果解释成实际问题的答案。

说明:

• 在实际问题中，如果函数 f(x) 在定义域内只有一个驻点或不可导点，且由问题的实际意义可知最值一定存在，那么该点处的函数值就是函数的最值。
• 很多实际问题的最值是在区间的端点处取得的，求解时需要注意。

例 3.5.3 要造一个圆柱形油罐，体积为 V，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？

解: 设圆柱形油罐的底半径为 r，高为 h，则体积 V = πr²h，表面积 S = 2πr² + 2πrh。

由 V = πr²h 得 h = V/(πr²)，代入表面积公式，得

\[S = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\]

其中 r ∈ (0, +∞)。

求导数，得

\[\frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}\]

令 dS/dr = 0，解得 \(\(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)\)。

当 r ∈ (0, \(\(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)\) ) 时，dS/dr < 0；当 r ∈ (\(\(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)\), +∞) 时，dS/dr > 0。所以当 \(\(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)\) 时，S 取得最小值。

此时，\(\(h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi (\frac{V}{2\pi})^{2/3}} = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} = 2r\)\)

即当底半径为 \(\(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\)\)，高为底直径时，圆柱形油罐的表面积最小。

例 3.5.4 某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数 Q = a - bP (a, b > 0)，商品的成本函数为 C = 50 + 2Q。如果政府对每单位商品征收 t 元的货物税，求厂商获得最大利润时的销售量，并验证当 t = 0 时，结果与没有税收时一样。

解: 厂商的收益为 R = PQ = P(a - bP) = aP - bP²。

利润 L = R - C - tQ = aP - bP² - 50 - 2(a - bP) - t(a - bP)。

为了将利润表示成销售量 Q 的函数，将 P = (a - Q)/b 代入，得

\[L = a\frac{a-Q}{b} - b(\frac{a-Q}{b})^2 - 50 - 2(a-Q) - t(a-Q) = \frac{a^2 - 2aQ + Q^2}{b} - 50 - 2a + 2Q - ta + tQ\]

对 Q 求导，得

\[\frac{dL}{dQ} = \frac{-2a + 2Q}{b} + 2 + t\]

令 dL/dQ = 0，解得

\[Q = a - b - \frac{bt}{2}\]

由于 d²L/dQ² = 2/b > 0，所以当销售量为 a - b - bt/2 时，利润最大。

当 t = 0 时，Q = a - b。此时利润为 L = (a - b)P - 50 - 2b = (a - b)(a - b)/b - 50 - 2b = (a - b)²/b - 50 - 2b。

如果不征税，则利润 L = (a - b)P - 50 - 2b = (a - b)(a - Q)/b - 50 - 2Q。

\[\frac{dL}{dQ} = \frac{-(a-b)}{b} - 2 = \frac{-a+b-2b}{b} = \frac{-a-b}{b}\]

令 dL/dQ = 0，解得 Q = a - b。与 t = 0 时的结果一致。

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