3.8 曲率

3.8 曲率

在 2.1 节中，我们用导数定义了曲线的切线。切线反映了曲线的方向，表征了曲线在一点处的“直”的程度。但是，仅有切线信息还不足以反映曲线的弯曲程度。例如，直线和圆在每一点处都有切线，但直线的弯曲程度为零，而圆的弯曲程度则保持不变。为了刻画曲线的弯曲程度，我们需要引入曲率的概念。

3.8.1 弧微分

在引入曲率之前，我们需要先介绍弧微分的概念。

弧长的概念:

对一段曲线 y = f(x)，x ∈ [*a*, b]，我们用一系列小的折线段来逼近这段曲线。设在 [*a*, b] 中插入 n - 1 个分点：

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b

这些分点对应曲线上的 n 个点 M_i(x_i, f(x_i))，i = 0, 1, ..., n。连接相邻的两点 M_i-1 和 M_i，得到一条折线。当分点的个数无限增多，且每个小区间 [*x_i-1, *x_i] 的长度趋于零时，这条折线的长度的极限就定义为曲线 y = f(x) 在 [*a*, b] 上的**弧长**，通常记作 s。

弧微分公式:

设曲线 y = f(x) 在 [*a*, b] 上具有连续的导数 f'(x)，在 [a, x] 上的弧长为 s(x) (x ∈ [*a*, b])。取 x 的增量 Δ*x*，则 Δ*s* = s(x + Δx) - s(x) 表示曲线在 [*x*, x + Δx] 上的弧长。

当 Δ*x* 很小时，可以用连接 (x, f(x)) 和 (x + Δx, f(x + Δx)) 两点的弦长来近似弧长 Δ*s*。

弦长为：

\[ \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{1 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x\]

当 Δ*x*→0 时，Δ*y*/Δ*x*→f'(x)，因此有

\[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta s}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta s}{\sqrt{1 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x} = 1\]

所以，当 Δ*x*→0 时，Δ*s* 与 \(\(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\)\) 是等价无穷小量。即

\[ds = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{1 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} \Delta x\]

取极限，得到**弧微分公式**：

\[ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx\]

或

\[(ds)^2 = (dx)^2 + (dy)^2\]

说明:

• 弧微分公式建立了弧长 s 与自变量 x 之间的微分关系。

• 对于参数方程 \(\(\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\)\) (α ≤ t ≤ β)，弧微分公式为

  \(\(ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \sqrt{\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2} dt\)\) * 在几何上，可以将 dx, dy 和 ds 看作是以 (x, f(x)) 为顶点的直角三角形的三条边，其中 dx 和 dy 分别是两条直角边，ds 是斜边 (参见下图)。

    |
    |    f(x)
    |   ~~~~~~
    |  /      \
    | /        \
    |/          \
    |------------*------------> x
                (x,f(x))
               /|
          ds /  | dy
            /   |
           /____|
             dx

例 3.8.1 求曲线 y = x^3/2 (x ≥ 0) 上从 x = 0 到 x = 4 的一段弧长。

解: y' = (3/2)√x，所以

\[ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx = \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx\]

弧长为

\[s = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx = \frac{8}{27} (1 + \frac{9}{4}x)^{3/2} |_0^4 = \frac{8}{27} (10^{3/2} - 1) ≈ 9.073\]

例 3.8.2 求星形线 \(\(\begin{cases} x = a\cos^3 t \\ y = a\sin^3 t \end{cases}\)\) (a > 0) 的全长。

解:

\[\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t\]

\[\frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t \cos t\]

\[ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt = \sqrt{9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t} dt = 3a|\cos t \sin t| dt\]

由于星形线的对称性，全长 L 等于第一象限部分弧长的 4 倍。

\[L = 4 \int_0^{\pi/2} 3a \cos t \sin t dt = 12a \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin 2t dt = 6a [-\frac{1}{2} \cos 2t]_0^{\pi/2} = 6a\]

3.8.2 曲率的概念和计算

曲率的概念:

直观上，曲线的弯曲程度可以用曲线的切线方向变化的快慢来刻画。我们用曲线的**平均曲率**来表示曲线在一段弧上的平均弯曲程度。

设曲线 y = f(x) 在点 M 处的切线为 MT，在点 M' 处的切线为 M'T'。设 Δ*s* 是 M 到 M' 的弧长，Δ*α* 是切线 MT 转到 M'T' 所转过的角度 (当 Δ*s*→0 时，Δ*α*→0)，则比值 |Δ*α*/Δ*s*| 表示弧段 MM' 上的平均曲率，记作 \(\(\bar{K}\)\)。

\[\bar{K} = |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|\]

如果极限

\[\lim_{\Delta s \to 0} |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}| = K\]

存在，则称 K 为曲线 y = f(x) 在点 M 处的**曲率**。

说明:

• 曲率反映了曲线的弯曲程度。曲率越大，曲线的弯曲程度越大；曲率越小，曲线的弯曲程度越小。
• 直线的曲率为零。
• 圆的曲率等于半径的倒数 (后面将证明)。

曲率的计算公式:

设函数 y = f(x) 具有二阶导数，则曲线 y = f(x) 在点 M(x, y) 处的曲率计算公式为

\[K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}\]

推导:

设曲线 y = f(x) 在点 M 处的切线的倾角为 α，则 tanα = y'。由弧微分公式知 ds = √(1 + y'²)dx。

\[K = \lim_{\Delta s \to 0} |\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}| = |\frac{d\alpha}{ds}| = |\frac{d\alpha}{dx} \cdot \frac{dx}{ds}| = \frac{|\frac{d\alpha}{dx}|}{\sqrt{1 + y'^2}}\]

因为 tanα = y'，所以 α = arctan(y')。

\[\frac{d\alpha}{dx} = \frac{d}{dx} \arctan(y') = \frac{1}{1 + y'^2} \cdot y''\]

因此

\[K = \frac{|\frac{y''}{1+y'^2}|}{\sqrt{1+y'^2}} = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}}\]

说明:

• 对于参数方程 \(\(\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}\)\)，其曲率计算公式为

  \(\(K = \frac{|\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)|}{[\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2]^{3/2}}\)\) * 推导过程可以利用 \(\(\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\)\) 和 \(\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)}{\varphi'(t)^3}\)\)，以及 y' = dy/dx, y'' = d²y/dx² 进行。 * 对于极坐标方程 ρ = ρ(θ)，其曲率计算公式为

  \[K = \frac{|\rho^2 + 2\rho'^2 - \rho\rho''|}{(\rho^2 + \rho'^2)^{3/2}}\]

例 3.8.3 求直线 y = kx + b 的曲率。

解: y' = k, y'' = 0，所以

\[K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}} = 0\]

例 3.8.4 求半径为 R 的圆 x² + y² = R² 的曲率。

解: 方法一：利用隐函数求导法。

对方程两边关于 x 求导，得

\[2x + 2y y' = 0\]

\[y' = -\frac{x}{y}\]

再对 x 求导，得

\[y'' = -\frac{y - xy'}{y^2} = -\frac{y + x^2/y}{y^2} = -\frac{x^2 + y^2}{y^3} = -\frac{R^2}{y^3}\]

所以

\[K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}} = \frac{|-R^2/y^3|}{(1 + x^2/y^2)^{3/2}} = \frac{R^2/|y|^3}{(y^2 + x^2)^{3/2}/|y|^3} = \frac{R^2}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}\]

方法二：利用参数方程。

圆的参数方程为 \(\(\begin{cases} x = R\cos t \\ y = R\sin t \end{cases}\)\)

x' = -R*sin*t, y' = R*cos*t, x'' = -R*cos*t, y'' = -R*sin*t。

所以

\[K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{|(-R\sin t)(-R\sin t) - (-R\cos t)(R\cos t)|}{((-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2)^{3/2}} = \frac{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}{R^3(\sin^2 t + \cos^2 t)^{3/2}} = \frac{1}{R}\]

例 3.8.5 求椭圆 \(\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)\) 在点 (a, 0) 和 (0, b) 处的曲率。

解: 方法一：利用隐函数求导。 对方程两边关于 x 求导，得

\[\frac{2x}{a^2} + \frac{2y y'}{b^2} = 0$$ $$y' = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$$ 再对 *x* 求导，得 $$y'' = -\frac{b^2 (a^2 y - x a^2 y')}{a^4 y^2} = -\frac{b^2 (y - x y')}{a^2 y^2} = -\frac{b^2 (y + \frac{b^2 x^2}{a^2 y})}{a^2 y^2} = -\frac{b^2 (a^2 y^2 + b^2 x^2)}{a^4 y^3} = -\frac{b^4}{a^2 y^3}\]

在点 (a, 0) 处，y' 不存在，不能直接代入公式。考虑椭圆的参数方程

\[\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}\]

点 (a, 0) 对应 t = 0。利用参数方程的求导公式： x' = -a*sin*t, y' = b*cos*t, x'' = -a*cos*t, y'' = -b*sin*t。

所以

\[K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{|(-a\sin t)(-b\sin t) - (-a\cos t)(b\cos t)|}{((-a\sin t)^2 + (b\cos t)^2)^{3/2}} = \frac{ab(\sin^2 t + \cos^2 t)}{(a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t)^{3/2}}\]

在 t = 0 处，K = ab/b³ = a/b²。 在点 (0, b) 处，对应 t = π/2。在 t = π/2 处，K = ab/a³ = b/a²。

方法二：利用参数方程求解 (请参考上述过程)

3.8.3 曲率圆与曲率半径

曲率圆的定义:

设曲线 y = f(x) 在点 M 处的曲率为 K ≠ 0，在点 M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D，使 |DM| = 1/K = ρ，以 D 为圆心，ρ 为半径作圆，这个圆称为曲线在点 M 处的**曲率圆**。

曲率半径的定义:

曲率圆的半径 ρ 称为曲线在点 M 处的**曲率半径**。

说明:

• 曲率圆与曲线在点 M 处有共同的切线和曲率。
• 曲率圆的圆心 D 称为曲线在点 M 处的**曲率中心**。
• 曲率半径 ρ 与曲率 K 互为倒数，即 ρ = 1/K。

例 3.8.6 求曲线 y = lnx 在点 (1, 0) 处的曲率半径和曲率圆方程。

解: y' = 1/x, y'' = -1/x²。

在点 (1, 0) 处，y'(1) = 1, y''(1) = -1。

所以曲线在点 (1, 0) 处的曲率为

\[K = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}} = \frac{|-1|}{(1 + 1^2)^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\]

曲率半径为

\[ρ = 1/K = 2\sqrt{2}\]

由于曲线在 (1, 0) 处的切线斜率为 y'(1) = 1，所以切线的倾角为 π/4。法线的倾角为 π/4 + π/2 = 3π/4。

设曲率中心为 (α, β)，则

\[\begin{cases} \alpha = 1 + \rho \cos(3\pi/4) = 1 + 2\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 \\ \beta = 0 + \rho \sin(3\pi/4) = 0 + 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \end{cases}\]

因此，曲率圆的方程为

\[(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 8\]