附录¶

A. 常用数学公式表¶

A.1 代数公式¶

平方差公式： \(\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)\)
完全平方公式： \(\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)\)
立方和公式： \(\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)\)
立方差公式： \(\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)\)
完全立方公式： \(\((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)\)
二项式定理： \(\((a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k\)\) 其中 \(\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)\) 为组合数。
等差数列求和公式： \(\(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\)\) 其中 a₁ 为首项，d 为公差。
等比数列求和公式： \(\(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \quad (q \ne 1)\)\) 其中 a₁ 为首项，q 为公比。
一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的求根公式： \(\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)\)

A.2 三角函数公式¶

基本关系：
- \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\]
- \[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\]
- \[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]
- \[\sec x = \frac{1}{\cos x}\]
- \[\csc x = \frac{1}{\sin x}\]
- \[\sec^2 x = 1 + \tan^2 x\]
- \[\csc^2 x = 1 + \cot^2 x\]
诱导公式：
- \[\sin(x + k\pi) = (-1)^k \sin x\]
- \[\cos(x + k\pi) = (-1)^k \cos x\]
- \[\tan(x + k\pi) = \tan x\]
- \[\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\]
- \[\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\]
- \[\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x\]
和差角公式：
- \[\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\]
- \[\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y\]
- \[\tan(x \pm y) = \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}\]
倍角公式：
- \[\sin 2x = 2\sin x \cos x\]
- \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\]
- \[\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}\]
半角公式：
- \[\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}\]
- \[\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}\]
- \[\tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}\]
和差化积公式：
- \[\sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\]
- \[\sin x - \sin y = 2\cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\]
- \[\cos x + \cos y = 2\cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}\]
- \[\cos x - \cos y = -2\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\]
积化和差公式：
- \[\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)]\]
- \[\cos x \sin y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) - \sin(x-y)]\]
- \[\cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)]\]
- \[\sin x \sin y = -\frac{1}{2}[\cos(x+y) - \cos(x-y)]\]

A.3 导数公式¶

基本初等函数的导数公式 (参见 2.2.4 节)
高阶导数公式 (参见 2.3.3 节)

A.4 常用麦克劳林级数¶

(参见 3.1.4 节和 4.3 节)

B. 常用数学符号表¶

符号	含义
=	等于
≠	不等于
≈	近似等于
>	大于
<	小于
≥	大于等于
≤	小于等于
+	加
-	减
×, ·	乘
÷, /	除
±	正或负
	x
(a, b)	开区间
[a, b]	闭区间
(a, b]	半开半闭区间
[a, b)	半开半闭区间
∞	无穷大
+∞	正无穷大
-∞	负无穷大
Δx	x 的增量
dx	x 的微分
dy/dx, y'	y 关于 x 的一阶导数
d²y/dx², y''	y 关于 x 的二阶导数
dⁿy/dxⁿ, y⁽ⁿ⁾	y 关于 x 的 n 阶导数
∂y/∂x	y 关于 x 的偏导数
∑	求和
∏	连乘
lim	极限
∫	积分
∮	闭路积分
∈	属于
∉	不属于
⊂	包含于
⊃	包含
⊆	包含于或等于
⊇	包含或等于
∪	并
∩	交
∀	对任意的
∃	存在
∃!	存在唯一
⇒	推出
⇔	等价于
∵	因为
∴	所以
⊥	垂直
∥	平行
∠	角
∘	度
′	分
″	秒
'	一阶导数或分
''	二阶导数或秒
Δ	增量或三角形
√	根号
n√	n 次方根
e	自然对数的底数
π	圆周率
log_ax	以 a 为底 x 的对数
lnx	自然对数，以 e 为底 x 的对数
sinx	正弦函数
cosx	余弦函数
tanx	正切函数
cotx	余切函数
secx	正割函数
cscx	余割函数
arcsinx	反正弦函数
arccosx	反余弦函数
arctanx	反正切函数
arccotx	反余切函数
sinhx	双曲正弦函数
coshx	双曲余弦函数
tanhx	双曲正切函数
cothx	双曲余切函数
sechx	双曲正割函数
cschx	双曲余割函数
arsinhx	反双曲正弦函数
arcoshx	反双曲余弦函数
artanhx	反双曲正切函数
arcothx	反双曲余切函数

C. 希腊字母表¶

希腊字母	大写	小写	英文名称	常用含义
Α	α	alpha	阿尔法	角度；系数；角加速度
Β	β	beta	贝塔	角度；系数；磁通系数
Γ	γ	gamma	伽马	角度；比热容比；导纳；介质常数；伽马函数
Δ	δ	delta	德尔塔	增量；变分；判别式；偏差
Ε	ε	epsilon	伊普西隆	小量；介电常数
Ζ	ζ	zeta	泽塔	系数；坐标；齐塔函数
Η	η	eta	伊塔	效率；系数；介质的阻抗
Θ	θ	theta	西塔	角度；温度；相位角
Ι	ι	iota	约塔	微小，一点
Κ	κ	kappa	卡帕	系数；介质常数；绝热指数
Λ	λ	lambda	拉姆达	波长；体积；波松比；波长
Μ	μ	mu	米欧	微；磁导率；放大因数；动摩擦因数；黏度；介质常数；质量
Ν	ν	nu	纽	磁阻；频率
Ξ	ξ	xi	克西	随机变量；(x,y,z)
Ο	ο	omicron	奥密克戎
Π	π	pi	派	圆周率；π键；连乘符号
Ρ	ρ	rho	柔	电阻率；密度；极坐标中表示极径
Σ	σ, ς	sigma	西格玛	总和；表面密度；跨导；正应力
Τ	τ	tau	陶	时间常数；切应力
Υ	υ	upsilon	宇普西隆
Φ	φ	phi	斐	磁通；角；电势；透射率；波函数
Χ	χ	chi	希
Ψ	ψ	psi	普西	角；波函数
Ω	ω	omega	欧米伽	欧姆；角速度；交流电的电角度

D. 常用术语中英文对照表¶

中文	英文
函数	Function
极限	Limit
连续	Continuous
导数	Derivative
微分	Differential
中值定理	Mean Value Theorem
洛必达法则	L'Hôpital's Rule
单调性	Monotonicity
极值	Extremum
凹凸性	Concavity
拐点	Inflection Point
最值	Maximum/Minimum Value
渐近线	Asymptote
曲率	Curvature
参数方程	Parametric Equation
隐函数	Implicit Function
泰勒公式	Taylor's Formula
泰勒级数	Taylor Series
麦克劳林级数	Maclaurin Series
边际	Marginal
弹性	Elasticity
微分方程	Differential Equation
可分离变量	Separable Variables
一阶线性	First-Order Linear
齐次	Homogeneous
非齐次	Nonhomogeneous
通解	General Solution
特解	Particular Solution
初值问题	Initial Value Problem
积分因子	Integrating Factor
收敛	Converge
发散	Diverge
数学模型	Mathematical Model
相关变化率	Related Rates
弧微分	Arc Differential
曲率半径	Radius of Curvature
曲率中心	Center of Curvature
曲率圆	Circle of Curvature
二分法	Bisection Method
牛顿法	Newton's Method

E. 选学内容的补充说明¶

本教材中标记为“选学”的内容主要包括以下几部分：

极限的 ε-δ 定义和 ε-N 定义 (1.2.2, 1.3.1(2), 1.3.2(2))
泰勒中值定理 (3.1.4)
方程的近似求解 (3.7)
导数在经济学中的应用简介 (3.9)
导数应用的补充 (第四章)
数学建模初步 (第五章)

这些内容在一般的工科数学分析教材中通常不作为教学基本要求，但在实际应用中 (例如数值计算、数学建模等) 却有一定的重要性。此外，学习这些内容，也有助于加深对微分学基本概念和方法的理解，提高数学素养和应用能力。

对于这些选学内容，学生可以根据自己的兴趣和学习能力进行选择性学习。例如，如果想要深入理解极限的精确定义，可以学习 ε-δ 语言和 ε-N 语言；如果对数值计算感兴趣，可以学习方程的近似求解方法；如果对经济学感兴趣，可以学习导数在经济学中的应用。

在编写这些选学内容时，我尽可能地降低了学习的难度，简化了理论推导，并结合具体的例子进行讲解，方便读者理解。同时，我也在附录中对一些重要的概念和方法进行了补充说明，例如泰勒公式的意义和应用、洛必达法则的使用条件等。

F. 参考文献与拓展阅读¶

参考文献:

同济大学数学系. 高等数学 (第七版) [M]. 高等教育出版社, 2014.
陈纪修, 于崇华, 金路. 数学分析 (第二版) [M]. 高等教育出版社, 2004.
华东师范大学数学系. 数学分析 (第四版) [M]. 高等教育出版社, 2010.
W. Rudin. 数学分析原理 (第三版) [M]. 机械工业出版社, 2004.
T. M. Apostol. 数学分析 (第二版) [M]. 机械工业出版社, 2006.
G. H. Hardy. 纯数学教程 (第十版) [M]. 人民邮电出版社, 2008.
R. Courant, F. John. 微积分和数学分析引论 [M]. 科学出版社, 2001.
J. Stewart. Calculus (8^th Edition) [M]. Cengage Learning, 2015.
G. B. Thomas, M. D. Weir, J. R. Hass. Thomas' Calculus (14^th Edition) [M]. Pearson, 2017.

拓展阅读:

菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 (第一卷) [M]. 高等教育出版社, 2006.
克莱鲍尔. 数学分析中的问题和定理 (第一卷) [M]. 浙江科学技术出版社, 1984.
吉米多维奇. 数学分析习题集 [M]. 人民教育出版社, 1978.
普里瓦洛夫. 复变函数论 [M]. 高等教育出版社, 1985.
卓里奇. 数学分析 (第一卷) [M]. 高等教育出版社, 2006.
阿黑波夫, 萨多夫尼奇, 丘巴里阔夫. 数学分析讲义 (第一册) [M]. 高等教育出版社, 2006.