一元积分学¶
第一章：定积分的概念与性质¶
- 1.1 引言：从面积和路程谈起
- 1.1.1 曲边梯形的面积
- 1.1.2 变速直线运动的路程
- 1.2 定积分的定义
- 1.2.1 分割、近似、求和、取极限
- 1.2.2 黎曼和与黎曼积分
- 1.2.3 定积分的几何意义
- 1.3 定积分的性质
- 1.3.1 线性性质
- 1.3.2 区间可加性
- 1.3.3 保号性与比较定理
- 1.3.4 积分中值定理
- 1.4 可积条件
- 1.4.1 可积的必要条件
- 1.4.2 可积的充分条件 (连续、单调、有限间断点)
- 1.5 微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)
- 1.5.1 变上限积分函数及其导数
- 1.5.2 牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用
- 1.6 习题
第二章：不定积分与换元积分法¶
- 2.1 不定积分的概念
- 2.1.1 原函数与不定积分的定义
- 2.1.2 不定积分的几何意义
- 2.2 基本积分表
- 2.3 换元积分法
- 2.3.1 第一类换元法 (凑微分法)
- 2.3.2 第二类换元法 (变量代换法)
- 2.3.3 三角代换、根式代换、倒代换
- 2.4 习题
第三章：分部积分法与有理函数积分¶
- 3.1 分部积分法
- 3.1.1 分部积分公式的推导
- 3.1.2 分部积分法的应用技巧 (反对幂指三)
- 3.2 有理函数的积分
- 3.2.1 有理函数的分解
- 3.2.2 部分分式的积分
- 3.3 可化为有理函数的积分
- 3.3.1 三角函数有理式的积分 (万能代换)
- 3.3.2 简单无理函数的积分
- 3.4 习题
第四章：定积分的计算与应用¶
- 4.1 定积分的换元积分法
- 4.2 定积分的分部积分法
- 4.3 定积分在几何学中的应用 -- 微分元素法
- 4.3.1 微分元素法的思想
- 4.3.2 平面图形的面积 (直角坐标系)
- 4.3.3 平面图形的面积 (极坐标系)
- 4.3.3.1 极坐标系下的面积元素
- 4.3.3.2 常见曲线的极坐标方程
- 4.3.3.3 例题与技巧
- 4.3.4 旋转体的体积
- 4.3.4.1 绕 x 轴旋转
- 4.3.4.2 绕 y 轴旋转
- 4.3.4.3 绕其他直线旋转 (选学)
- 4.3.5 平行截面面积已知的立体体积
- 4.3.6 旋转体的侧面积
- 4.3.6.1 侧面积公式的推导
- 4.3.6.2 例题与技巧
- 4.3.7 曲线的弧长 (直角坐标系)
- 4.3.8 曲线的弧长 (参数方程)
- 4.3.9 曲线的弧长 (极坐标系)
- 4.4 定积分在物理学中的应用
- 4.4.1 变力做功
- 4.4.2 水压力
- 4.4.3 引力
- 4.4.4 质心
- 4.4.5 转动惯量 (选学)
- 4.5 定积分的近似计算
- 4.5.1 矩形法
- 4.5.2 梯形法
- 4.5.3 辛普森法
- 4.6 习题
第五章：反常积分¶
- 5.1 无穷限的反常积分
- 5.1.1 无穷限反常积分的定义
- 5.1.2 无穷限反常积分的敛散性
- 5.1.3 无穷限反常积分的计算
- 5.2 无界函数的反常积分
- 5.2.1 无界函数反常积分的定义
- 5.2.2 无界函数反常积分的敛散性
- 5.2.3 无界函数反常积分的计算
- 5.3 伽玛函数
- 5.3.1 伽玛函数的定义与性质
- 5.3.2 伽玛函数与阶乘的关系
- 5.4 习题
附录¶
附录 A：常用积分表
- A.1 基本初等函数的积分
- A.2 常用的不定积分公式
- A.3 一些特殊的定积分公式
附录 B：希腊字母表
- B.1 希腊字母大写、小写及英文/中文读音
附录 C：常用数学符号
- C.1 常用数学符号及其含义
附录 D：常用术语中英文对照表
- D.1 一元积分学术语中英文对照
附录 E：部分习题解答与提示
- E.1 第一章习题解答与提示
- E.2 第二章习题解答与提示
- E.3 第三章习题解答与提示
- E.4 第四章习题解答与提示
- E.5 第五章习题解答与提示
附录 F：拓展阅读
- F.1 关于 “反对幂指三” 原则的更多说明
- F.2 极坐标系下曲线弧长的更详细推导
- F.3 反常积分比较判别法的更详细说明
- F.4 伽玛函数性质的补充说明
- F.5 数值积分方法的补充说明
- F.6 积分的应用实例补充
- F.7 进阶阅读推荐