1.2 定积分的定义

让我们继续前进，开始 1.2 节定积分的定义 的内容！

在上一节中，我们通过两个具体的例子：求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程，初步了解了积分的思想。现在，我们抛开这些具体的例子，直接从数学的角度给出定积分的严格定义。

1.2.1 分割、近似、求和、取极限

给定一个在区间 \([a, b]\) 上定义的函数 \(f(x)\)，我们按照以下步骤来定义它在 \([a, b]\) 上的定积分：

分割： 将区间 \([a, b]\) 任意分成 \(n\) 个小区间：

\[[x_0, x_1], [x_1, x_2], ..., [x_{n-1}, x_n]\]

其中 \(a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b\)。

记 \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) 表示第 \(i\) 个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 的长度。

设 \(\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\}\) 表示所有小区间长度的最大值。
近似： 在每个小区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上任取一点 \(\xi_i\) (\(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\))，计算函数值 \(f(\xi_i)\)。
求和： 作出乘积 \(f(\xi_i) \Delta x_i\)，并将它们求和，得到：

\[S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i\]

这个和式 \(S_n\) 称为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的一个 积分和，也叫 黎曼和 (Riemann sum)。
取极限： 如果当分割无限加细 (\(\lambda \to 0\)) 时，无论对 \([a, b]\) 如何分割，也无论在每个小区间上点 \(\xi_i\) 如何选取，积分和 \(S_n\) 都无限趋近于一个确定的常数 \(I\)，那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上可积，并将这个常数 \(I\) 称为函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的 定积分，记作：

\[\int_a^b f(x) dx\]

即：

\[I = \int_a^b f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i\]

1.2.2 黎曼和与黎曼积分

上述定义的积分是基于黎曼和的极限，因此也称为**黎曼积分**。黎曼和的构造依赖于对区间的分割和在每个小区间上点的选取。

不同的分割和取点方式，对应着不同的黎曼和。

需要强调的是： 只有当分割无限加细 (\(\lambda \to 0\)) 时，无论如何分割和取点，黎曼和都趋于同一个极限值 \(I\)，函数 \(f(x)\) 才称为在 \([a,b]\) 上可积，且其定积分等于 \(I\)。

1.2.3 定积分的几何意义

当 \(f(x) \geq 0\) 时，定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 的几何意义是曲线 \(y = f(x)\)、直线 \(x = a\), \(x = b\) 以及 \(x\) 轴所围成的曲边梯形的面积。

当 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有正有负时，定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 的几何意义是 \(x\) 轴上方部分曲边梯形面积减去 \(x\) 轴下方部分曲边梯形面积所得到的**代数和**。

文字描述： 想象一条曲线 \(y=f(x)\) 在 \(x\) 轴上方和下方波动。定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 就像一个公正的会计师，将 \(x\) 轴上方的面积记为正值，将 \(x\) 轴下方的面积记为负值，最后计算出它们的代数和。

表格总结：

1.2.4 定积分的符号

定积分 \(\int_a^b f(x) dx\) 中：

需要注意的是： 定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量的字母无关。也就是说：

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u) du\]