1.3 定积分的性质

1.3 定积分的性质

定积分作为一种数学运算，具有一些重要的性质。 这些性质不仅反映了定积分本身的特点，也为我们计算和应用定积分提供了极大的便利。

以下我们假设所讨论的函数在相应的区间上都是可积的。

1.3.1 线性性质

定积分的线性性质包含以下两条：

(1) 数乘性质： 函数 \(f(x)\) 的常数倍的积分等于该函数积分的常数倍，即：

\[\int_a^b kf(x) dx = k \int_a^b f(x) dx\]

其中 \(k\) 为常数。

(2) 加减性质： 两个函数之和 (或差) 的积分等于这两个函数积分的和 (或差)，即：

\[\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx\]

证明思路： 这两条性质可以直接从定积分的定义 (黎曼和的极限) 出发，利用极限运算的性质得到证明。

几何解释： 数乘性质可以理解为：如果将曲边梯形的高度拉伸为原来的 \(k\) 倍，那么它的面积也变为原来的 \(k\) 倍。 加减性质可以理解为：两个曲边梯形相加 (或相减) 后的图形的面积，等于这两个曲边梯形面积的和 (或差)。

例 1.3.1 已知 \(\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}\)，\(\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}\)，求 \(\int_0^1 (2x^2 - 3x + 5) dx\)。

解： 利用定积分的线性性质，我们有：

\[\int_0^1 (2x^2 - 3x + 5) dx = 2\int_0^1 x^2 dx - 3\int_0^1 x dx + \int_0^1 5 dx\]

\[= 2 \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{2} + 5 \int_0^1 1 dx = 2 \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{2} + 5(1-0) = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 5 = \frac{25}{6}\]

其中 \(\int_0^1 1 dx\) 表示积分区间 \([0, 1]\) 上的常数函数 \(f(x) = 1\) 的定积分，其几何意义是以 \([0,1]\) 为底，1 为高的矩形的面积，所以 \(\int_0^1 1 dx = 1\)。

1.3.2 区间可加性

如果 \(f(x)\) 在区间 \([a, c]\) 上可积，且 \(a < b < c\)，那么 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 和 \([b, c]\) 上也可积，且有：

\[\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx\]

证明思路： 可以利用黎曼和的极限来证明。 基本思路是在区间 \([a, c]\) 的任意分割中，总是插入一个分点 \(b\)，将黎曼和分成两部分，分别对应于区间 \([a, b]\) 和 \([b, c]\) 上的积分和。

几何解释： 这个性质的几何意义非常直观。 它表示如果将一个曲边梯形从中间某个位置 \(x = b\) 处分成两部分，那么这两部分的面积之和等于原来曲边梯形的面积。

推广： 区间可加性可以推广到多个子区间的情况。 例如，如果 \(a < b < c < d\)，那么：

\[\int_a^d f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx + \int_c^d f(x) dx\]

注意： 这个性质对于积分上限和下限的大小关系没有要求。 例如，即使 \(a > b\)，我们仍然有 \(\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx\)。

1.3.3 保号性与比较定理

(1) 保号性： 如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \geq 0\)，且 \(a < b\)，那么：

\[\int_a^b f(x) dx \geq 0\]

几何解释： 这条性质的几何意义也很明显。 如果曲边梯形位于 \(x\) 轴的上方，那么它的面积自然是非负的。

(2) 比较定理： 如果在区间 \([a, b]\) 上 \(f(x) \leq g(x)\)，且 \(a < b\)，那么：

\[\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx\]

证明思路： 可以利用保号性来证明。 因为 \(f(x) \leq g(x)\)，所以 \(g(x) - f(x) \geq 0\)。 根据保号性，\(\int_a^b [g(x) - f(x)] dx \geq 0\)。 再根据定积分的线性性质，即可得到结论。

几何解释： 如果一个曲边梯形位于另一个曲边梯形的下方，那么前者的面积自然不会大于后者的面积。

(3) 估值定理： 设 \(M\) 和 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的最大值和最小值，且 \(a < b\)，那么：

\[m(b - a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b - a)\]

证明思路： 因为 \(m \leq f(x) \leq M\)，根据比较定理，我们有 \(\int_a^b m dx \leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b M dx\)。 而 \(\int_a^b m dx = m(b-a)\)，\(\int_a^b M dx = M(b-a)\)，所以结论成立。

几何解释： 这个不等式可以理解为：曲边梯形的面积介于以 \(f(x)\) 的最小值为高、以 \((b-a)\) 为底的矩形的面积和以 \(f(x)\) 的最大值为高、以 \((b-a)\) 为底的矩形的面积之间。

1.3.4 积分中值定理

定理： 如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，那么在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\xi\)，使得：

\[\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)\]

证明思路： 由于 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，所以它在 \([a, b]\) 上必有最大值 \(M\) 和最小值 \(m\)。 根据估值定理，我们有：

\[m(b - a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b - a)\]

即：

\[m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx \leq M\]

根据连续函数的介值定理，在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\xi\)，使得：

\[f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx\]

即：

\[\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)\]

几何解释： 积分中值定理的几何意义是：对于一个曲边梯形，在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\xi\)，使得以 \(f(\xi)\) 为高，以 \((b-a)\) 为底的矩形的面积等于该曲边梯形的面积。 换句话说，我们总能找到一个 “平均高度” \(f(\xi)\)，使得以这个 “平均高度” 为高的矩形与曲边梯形等面积。

物理意义： 如果 \(f(x)\) 表示变速直线运动的速度，那么积分中值定理告诉我们，在 \([a,b]\) 这段时间内，至少存在一个时刻 \(\xi\)，该时刻的瞬时速度 \(f(\xi)\) 等于这段时间内的平均速度。

注意： 积分中值定理只保证了 \(\xi\) 的存在性，并没有给出求 \(\xi\) 的具体方法。 而且，满足条件的 \(\xi\) 可能不止一个。