附录 A：常用积分表

本附录列出了一些常用的不定积分公式，供读者查阅。在使用这些公式时，需要注意积分常数 $C$。

序号	函数	不定积分
1	$\tan x$	$-\ln \cos x + C$
2	$\cot x$	$\ln \sin x + C$
3	$\sec x$	$\ln \sec x + \tan x + C$
4	$\csc x$	$\ln \csc x - \cot x + C$
5	$\frac{1}{a^2+x^2}$	$\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$
6	$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin \frac{x}{a} + C$
7	$\frac{1}{x^2-a^2}$	$\frac{1}{2a} \ln \frac{x-a}{x+a} + C$
8	$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$	$\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C$
9	$\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$	$\ln x + \sqrt{x^2-a^2} + C$
10	$\sqrt{a^2 - x^2}$	$\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C$
11	$\sqrt{x^2 \pm a^2}$	$\frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln x+\sqrt{x^2 \pm a^2} + C$
12	$\int \frac{1}{\sin x}dx$	$\ln \tan\frac{x}{2} +C$
13	$\int \frac{1}{\cos x}dx$	$\ln \tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}) +C$

Wallis 公式:

\[W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数} \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3}, & n \text{ 为大于1的奇数} \end{cases}\]

利用 Wallis 公式可以推导出：

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left[ \frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} \right] = \sqrt{\pi}\]
伽玛函数的几个特殊值：
- $\Gamma(1) = 1$
- $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$
- $\Gamma(n) = (n-1)!$ ($n$ 为正整数)

序号	函数	不定积分
1	\(\tan x\)	\(-\ln \cos x + C\)
2	\(\cot x\)	\(\ln \sin x + C\)
3	\(\sec x\)	\(\ln \sec x + \tan x + C\)
4	\(\csc x\)	\(\ln \csc x - \cot x + C\)
5	\(\frac{1}{a^2+x^2}\)	\(\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C\)
6	\(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\)	\(\arcsin \frac{x}{a} + C\)
7	\(\frac{1}{x^2-a^2}\)	\(\frac{1}{2a} \ln \frac{x-a}{x+a} + C\)
8	\(\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\)	\(\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\)
9	\(\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\)	\(\ln x + \sqrt{x^2-a^2} + C\)
10	\(\sqrt{a^2 - x^2}\)	\(\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C\)
11	\(\sqrt{x^2 \pm a^2}\)	\(\frac{x}{2}\sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln x+\sqrt{x^2 \pm a^2} + C\)
12	\(\int \frac{1}{\sin x}dx\)	\(\ln \tan\frac{x}{2} +C\)
13	\(\int \frac{1}{\cos x}dx\)	\(\ln \tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}) +C\)